Principios de análisis instrumental

el interruptor se mueve a la posición 1, la suma de los voltajes en C( ve) y R( vR) deben ser iguales al voltaje de entrada V¡. Entonces, (2.31) Puesto que V¡ es constante, el incremento en ve que acompaña a la carga del capacitar debe ser compensado exactamente por una disminución en vR. Al sustituir las ecuaciones 2.1 y 2.28 en la ecuación 2.31 se tiene, después de reacomodar términos, V= !l_ +iR 1 e (2.32) Para determinar cómo cambia la corriente en un circuito RC en función del tiempo, se deriva la ecuación 2.32 respecto al tiempo. Recuerde que V¡ es constante. Entonces, dV¡ dq!dt di -=0= -- +R - dt e dt (2.33) Una vez más se han utilizado letras minúsculas para representar la carga y la corriente instantáneas. Como ya se hizo notar con anterioridad, dq! dt = i. Si se sustituye esta expresión en la ecuación 2.33 se llega a la ecuación siguiente luego de reacomodar términos: di dt RC Al integrar la ecuación entre los límites de la corriente inicial Iinic e i se obtiene (2.34) e (2.35) Esta ecuación demuestra que la corriente en el circuito RC dismi– nuye en forma exponencial con el tiempo. Tasa del cambio de voltaje en un circuito RC Para obtener una expresión para el voltaje instantáneo en un resis– tor vR, se usa la ley de Ohm para sustituir i = vR!R e Iinic = VRIR en la ecuación 2.35 y reordenar términos se obtiene (2.36) La sustitución de esta expresión en la Ecuación 2.31 produce, después de la reorganización, una expresión para el voltaje ins– tantáneo a través del condensador ve: (2.37) Note que el producto RC que aparece en las últimas tres ecuaciones tiene unidades de tiempo porque R = vii y C = qlv 0 RC = VR X 3_ i ve y ~ .cu.lembío culemblo/segundo X :llel1' = segundos ))} 28 Circuitos de corriente alterna 33 El producto RC se llama constante de tiempo del circuito, y es una medida del tiempo que se requiere para que un capacitar se cargue o se descargue. Esta dependencia del tiempo de carga respecto a RC se puede entender por la forma de la ecuación 2.37. Como el cociente - t/RC es el exponente de la ecuación, RC deter– mina la razón de cambio exponencial del voltaje en el capacitar. En el ejemplo 2.2 se ilustra la aplicación de las ecuaciones que se acaban de deducir. Los valores para los componentes de la figura 2.8a son V¡ = 10.0 V, R = 1000 D, C = 1.00 flF es decir 1.00 X 10- 6 F. Calcule a) la constante de tiempo del circuito y b) i, ve y vn después de que han transcurrido dos constantes de tiempo (t = 2RC). Solución a) La constante de tiempo = RC = 1000 X 1.00 X 10- 6 = 1.00 X 10- 3 s o 1.00 ms. b) Al sustituir la ley de Ohm, Iinic = V¡/R, y t = 2.00 ms en la ecuación 2.35 se obtiene i = ~e - t!RC = 10.0 e -2oon oo R 1000 = 1.35 X 10 - 3 A o 13.5 mA A partir de la ecuación 2.36 se determina que vR = 10.0 e- 2 00 1 1.oo = 1.35 V Y al sustituir en la ecuación 2.31 se encuentra que ve = V¡ - vR = 10.00 - 1.35 10.0(1 - e - 2001 1. 00 ) = 8.65 V Relaciones de fase entre intensidad de corriente y voltaje en un circuito RC En la figura 2.8b se muestran los cambios en i, vR y ve que ocurren durante el ciclo de carga de un circuito RC. Estas gráficas se presentan con unidades arbitrarias porque la forma de las curvas es independiente de la constante de tiempo del circuito. Observe que vn e i toman sus valores máximos en el instante en que el interruptor de la figura 2.8a pasa a la posición l. En ese mismo instante, el voltaje del capacitar aumenta con rapidez a partir de cero y se aproxima a un valor constante. Para cuestiones prácticas, se considera que un capacitar está totalmente cargado después de que han transcurrido cinco constantes de tiempo (SRC). En este momento, la corriente ha disminuido a menos de 1% de su valor inicia] v sRC/RC = e-S= 0.0067 = 0.01). Cuando el interruptor de la figura 2.8a se mueve a la posición 2, se remueve la batería del circuito y el capacitar se vuelve una fuente de corriente. El flujo de la carga será en dirección contraria al que había durante la carga. Entonces, dq!dt = - i